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數(shù)學是研究數(shù)量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。通過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。 　　

數(shù)學屬性是任何事物的可量度屬性，即數(shù)學屬性是事物最基本的屬性。可量度屬性的存在與參數(shù)無關，但其結果卻取決于參數(shù)的選擇。例如：時間，不管用年、月、日還是用時、分、秒來量度；空間，不管用米、微米還是用英寸、光年來量度，它們的可量度屬性永遠存在，但結果的準確性與這些參照系數(shù)有關。 　　

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關系和空間形式的科學。簡單地說，是研究數(shù)和形的科學。由于生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數(shù)，并由用手指或實物計數(shù)發(fā)展到用數(shù)字計數(shù)。 　　

基礎數(shù)學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學文本內(nèi)便可觀見。從那時開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發(fā)現(xiàn)相作用而生成的數(shù)學革新導致了知識的加速，直至今日。 　　

今日，數(shù)學被使用在世界上不同的領域上，包括科學、工程、醫(yī)學和經(jīng)濟學等。數(shù)學對這些領域的應用通常被稱為應用數(shù)學，有時亦會激起新的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，并導致全新學科的發(fā)展。數(shù)學家亦研究沒有任何實際應用價值的純數(shù)學，即使其應用常會在之后被發(fā)現(xiàn)。 　　

創(chuàng)立于二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數(shù)學，至少純粹數(shù)學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數(shù)結構（群，環(huán)，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數(shù)……）�！�

早期的數(shù)學完全著重在演算實際運算的需要上，有如反映在中國算盤上的一般。如同上面所述一般，數(shù)學主要的學科首要產(chǎn)生于商業(yè)上計算的需要、了解數(shù)字間的關系、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數(shù)量、結構、空間及變化(即算術、代數(shù)、幾何及分析)等數(shù)學上廣泛的子領域相關連著。除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數(shù)學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經(jīng)驗上的數(shù)學(應用數(shù)學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。

為了搞清楚數(shù)學基礎，數(shù)學邏輯和集合論等領域被發(fā)展了出來�？低校℅eorg Cantor，1845-1918）首創(chuàng)集合論，大膽地向“無窮大”進軍，為的是給數(shù)學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內(nèi)容也是相當豐富的，提出了實無窮的存在，為以后的數(shù)學發(fā)展作出了不可估量的貢獻。Cantor的工作給數(shù)學發(fā)展帶來了一場革命。由于他的理論超越直觀，所以曾受到當時一些大數(shù)學家的反對，就連被譽為“博大精深，富于創(chuàng)舉”的數(shù)學家Pioncare也把集合論比作有趣的“病理情形”，甚至他的老師Kronecker還擊Cantor是“神經(jīng)質(zhì)”，“走進了超越數(shù)的地獄”.對于這些非難和指責，Cantor仍充滿信心，他說：“我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳.”他還指出：“數(shù)學的本質(zhì)在于它的自由性，不必受傳統(tǒng)觀念束縛�！边@種爭辯持續(xù)了十年之久。Cantor由于經(jīng)常處于精神壓抑之中，致使他1884年患了精神分裂癥，最后死于精神病院。 　　

然而，歷史終究公平地評價了他的創(chuàng)造，集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數(shù)學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數(shù)理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數(shù)學家Hilbert在德國傳播了Cantor的思想，把他稱為“數(shù)學家的樂園”和“數(shù)學思想最驚人的產(chǎn)物”。英國哲學家Russell把Cantor的工作譽為“這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。 　　

數(shù)學邏輯專注在將數(shù)學置于一堅固的公理架構上，并研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明的真實定理�，F(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關連性。 　　

恩格斯說：“數(shù)學是研究現(xiàn)定世界的數(shù)量關系與空間形式的科學�！�