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從命題的題設(shè)出發(fā),經(jīng)過逐步推理,來判斷命題的結(jié)論是否正確的過程,叫做證明。要證明一個命題是真命題,就是證明凡符合題設(shè)的所有情況,都能得出結(jié)論。要證明一個命題是假命題,只需舉出一個反例說明命題不能成立。
證明一個命題,一般步驟如下:
(1)按照題意畫出圖形; (2)分清命題的條件的結(jié)論,結(jié)合徒刑,在“已知”一項中寫出題設(shè),在“求證”一項中寫出結(jié)論; (3)在“證明”一項中,寫出全部推理過程。 一、直接證明 1、綜合法 (1)定義:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法. (2)綜合法的特點:綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā?它是從已知條件和某些學(xué)過的定義、公理、公式、定理等出發(fā),通過推導(dǎo)得出結(jié)論. 2、分析法 (1)定義:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明的方法叫做分析法. (2)分析法的特點:分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是要證明結(jié)論成立,逐步尋求推證過程中,使每一步成立的充分條件,直到最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止. 二、間接證明 反證法 1、定義:一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法. 2、反證法的特點: 反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設(shè)要證的命題不成立,即結(jié)論的反面成立,在已知條件和“假設(shè)”這個新條件下,通過邏輯推理,得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設(shè)等相矛盾的結(jié)論,從而判定結(jié)論的反面不能成立,即證明了命題的結(jié)論一定是正確的. 3、反證法的優(yōu)點: 對原結(jié)論否定的假定的提出,相當(dāng)于增加了一個已知條件. 4反證法主要適用于以下兩種情形: (1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰; (2)如果從正面證明,需要分成多種情形進行分類討論,而從反面進行證明,只要研究一種或很少的幾種情形 |
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